¼ˆΠ)就不能对所有环面生效,威尔莫猜想依然没有被完全证明。」
「还有啊,极小极大值完全有可能取到一个大球面,其面积是4π,换算成威尔莫能量就是4π,这显然小於2π2,漆昊似乎只是想当然地排除了这种可能性。」
「但他必须从亏格的拓扑角度,严格证明他构造的这个同伦是无法收缩到一个点或者一个球面上的,因此极小极大过程的极限必然是一个亏格为1的环面,这个论证缺失。」
「所以我认为,漆昊的这个式子只是一个没有经过证明的想法。」
「知道民科吗?」
「他们经常这麽干。」
听完导师的分析,羽生航平感到一阵後怕,又感到庆幸。
後怕的是,自己差点就被漆昊的想法说服了,庆幸的是,漆昊论证不是真的,威尔莫猜想依然还没有解决。
小西直看着羽生,似乎看穿了他的心思,提醒道:「漆昊的思路看看就行了,不要被他带偏了,几何测度论这东西不适合我们目前的方向。」
羽生航平抬起头,说:「老师,我们的道路是偏微分方程,是几何分析,漆昊用Almgren—Pitts理论,我们为什麽不能用威尔莫流来推导呢?」
小西直教授愣住了。
威尔莫流是威尔莫能量的L2梯度流,它是一个四阶的几何演化方程,一个曲面在威尔莫流的作用下,会朝着减小自身威尔莫能量的方向形变。
理论上,如果能证明任何一个环面,在威尔莫流下最终都会收敛到标准的克利福德环面,那麽威尔莫猜想就得证了。
想法很简单,但四阶方程的分析非常难,解的长期存在性和奇点问题目前还没有人能够完全解决。
羽生看小西教授没否定他,於是继续说了:「漆昊想用一个五维参数去遍历所有可能性,这太复杂了,而我们的威尔莫流,本身就是一条最优的路径。
「但是,羽生君,威尔莫流的奇点问题,我们研究了这麽多年,进展有限,你如何保证一个任意的环面不会在流的演化过程中产生奇点,变成一个无法处理的东西?」
「可积系统!」羽生航平几乎是脱口而出,这正是他们研究室,乃至整个霓虹古典微分几何学派最引以为傲的领域之一。
「老师,我们一直研究具有特殊对称性的威尔莫曲面,比如对称环面和管状曲面,在这些受限的类别里,我们发现威尔莫方程表现出了可积性的迹象!」
「这意
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